親のための算数講座(4)　比合わせ

算数講座第4回は「比」です。

中学受験の算数は、比を上手に使うことができるかどうかで、得点力が大きく変わってきます。

割合がらみの問題だけではなく、速さの問題や図形の問題にまで、比が活躍しますから、親としては、何としても一通りの理解をしておきたいところです。

比合わせ

【例１】AとBの所持金の比は2：3、BとCの所持金の比は4：5のとき、AとCの所持金の比を求めなさい。

共通の登場人物はBなので、Bの大きさをそろえましょう。

Aと比べると、Bは3、Cと比べるとBは4ですから、Bを3と4の最小公倍数の12としましょう。

A：B＝2：3＝8：12

B：C＝4：5＝12：15

となりますから、A：B：C＝8：12：15とできますね。（これを連比といいます。）

なので、A：C＝8：15となります。

【例２】A駅からB駅に行く途中の、C地点に図書館が、D地点に学校があります。AC間とCB間の道のりの比は1：3、AD間とDB間の道のりの比は2：1です。図書館から学校のまで400mのとき、A駅からB駅まで何mありますか。

同じものがないかを考えてみます。

図にすると分かりやすいのですが、

A　→　1　→　C　→　→　3　→　→　B　・・・　A～Bは4の距離（ア）

A　→　→　2　→　→　D　→　1　→　B　・・・　A～Bは3の距離（イ）

等しいはずのAB間の距離が4だったり、3だったりしますね。

そこで、このAB間の距離を3と4の最小公倍数の⑫としましょう。

すると、

アからA～Cは③、C～Bは⑨

イからA～Dは⑧、D～Bは④

C～Dは⑧－③＝⑤となりますね。

これが400mなので、①＝400÷5＝80m

A駅からB駅までは⑫なので、80×12＝960mとなります。

倍数算

【例３】A君とB君のはじめの所持金の比は2：5でしたが、2人とも500円ずつもらったので、所持金の比は1：2になりました。はじめのA君の所持金はいくらでしたか。

比を使って解く文章題です。

これも同じものがないか考えてみましょう。

線分図を描いてみるとわかりますが、

同じ大きさが増えたり、同じ大きさが減ったりする場合、差は変わりません。

（これ、大切！）

つまり、所持金の比の差を比合わせすればいいということです。

はじめ　2：5　→　差は3

あと　　1：2　→　差は1

3と1の最小公倍数は3ですから、この差を③としましょう。

すると

はじめのAは②、Bは⑤

あとのAは③、Bは⑥

となり、2人とも①増えていますね。

これがもらった500円ですから、はじめのAの所持金②は

500×2＝1000円となります。

【例４】姉と妹の所持金の比は7：5でしたが、姉が妹に500円渡したので、姉と妹の所持金の比が4：5になりました。はじめ姉はいくら持っていましたか。

こんどは、やり取りの問題です。

2人や3人でやり取りする問題もよく出題されます。

この場合、大切なことは、

やり取りしても合計（和）はかわらない

ということ。

ですから、はじめとあとの「比の和」を作ってみましょう。

はじめは、7＋5＝12、あとは、4＋5＝9で、この12と9が等しいということになりますから、

2人の所持金の和を12と9を比合わせして、最小公倍数の[36]としましょう。

すると、

はじめの姉は[21]、妹は[15]

あとの姉は[16]、妹は[20]

となって、姉は[5]減り、妹は[5]増えているのが分かります。

これが500円なので、[1]＝100円

ですから、はじめの姉の所持金は[21]は100×21＝2100円ですね。

まとめ

比合わせは、こうした文章題だけでなく、図形などほかのいろいろな場面で使える、非常に大切な考え方です。

ですから、親としては、この考え方をしっかりマスターしておいた方がいいのです。

子どもも、お父さん、お母さんに尊敬の眼差しを向けること請け合いです(^-^;

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