親のための算数講座(4) 比合わせ

算数講座第4回は「比」です。

中学受験の算数は、比を上手に使うことができるかどうかで、得点力が大きく変わってきます。

割合がらみの問題だけではなく、速さの問題や図形の問題にまで、比が活躍しますから、親としては、何としても一通りの理解をしておきたいところです。

比合わせ

【例1】AとBの所持金の比は2:3、BとCの所持金の比は4:5のとき、AとCの所持金の比を求めなさい。

共通の登場人物はBなので、Bの大きさをそろえましょう。

Aと比べると、Bは3、Cと比べるとBは4ですから、Bを3と4の最小公倍数の12としましょう。

A:B=2:3=8:12

B:C=4:5=12:15

となりますから、A:B:C=8:12:15とできますね。(これを連比といいます。)

なので、A:C=8:15となります。

【例2】A駅からB駅に行く途中の、C地点に図書館が、D地点に学校があります。AC間とCB間の道のりの比は1:3、AD間とDB間の道のりの比は2:1です。図書館から学校のまで400mのとき、A駅からB駅まで何mありますか。

同じものがないかを考えてみます。

図にすると分かりやすいのですが、

A → 1 → C → → 3 → → B ・・・ A~Bは4の距離(ア)

A → → 2 → → D → 1 → B ・・・ A~Bは3の距離(イ)

等しいはずのAB間の距離が4だったり、3だったりしますね。

そこで、このAB間の距離を3と4の最小公倍数の⑫としましょう

すると、

アからA~Cは③、C~Bは⑨

イからA~Dは⑧、D~Bは④

C~Dは⑧-③=⑤となりますね。

これが400mなので、①=400÷5=80m

A駅からB駅までは⑫なので、80×12=960mとなります。

倍数算

【例3】A君とB君のはじめの所持金の比は2:5でしたが、2人とも500円ずつもらったので、所持金の比は1:2になりました。はじめのA君の所持金はいくらでしたか。

比を使って解く文章題です。

これも同じものがないか考えてみましょう

線分図を描いてみるとわかりますが、

同じ大きさが増えたり、同じ大きさが減ったりする場合、差は変わりません。

(これ、大切!)

つまり、所持金の比の差を比合わせすればいいということです。

はじめ 2:5 → 差は3

あと  1:2 → 差は1

3と1の最小公倍数は3ですから、この差を③としましょう。

すると

はじめのAは②、Bは⑤

あとのAは③、Bは⑥

となり、2人とも①増えていますね。

これがもらった500円ですから、はじめのAの所持金②は

500×2=1000円となります。

【例4】姉と妹の所持金の比は7:5でしたが、姉が妹に500円渡したので、姉と妹の所持金の比が4:5になりました。はじめ姉はいくら持っていましたか。

こんどは、やり取りの問題です。

2人や3人でやり取りする問題もよく出題されます。

この場合、大切なことは、

やり取りしても合計(和)はかわらない

ということ。

ですから、はじめとあとの「比の和」を作ってみましょう。

はじめは、7+5=12、あとは、4+5=9で、この12と9が等しいということになりますから、

2人の所持金の和を12と9を比合わせして、最小公倍数の[36]としましょう。

すると、

はじめの姉は[21]、妹は[15]

あとの姉は[16]、妹は[20]

となって、姉は[5]減り、妹は[5]増えているのが分かります。

これが500円なので、[1]=100円

ですから、はじめの姉の所持金は[21]は100×21=2100円ですね。

まとめ

比合わせは、こうした文章題だけでなく、図形などほかのいろいろな場面で使える、非常に大切な考え方です。

ですから、親としては、この考え方をしっかりマスターしておいた方がいいのです。

子どもも、お父さん、お母さんに尊敬の眼差しを向けること請け合いです(^-^;

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